Как найти обратную матрицу

Наверное, никто не станет оспаривать тот факт, что нахождение обратных матриц представляет собой важнейшую часть курса математического анализа. Собственно говоря, представление об обратных матрицах поможет разобраться с решением множества задач, а также разработке множества программ. А потому, отсутствие навыка решения обратных матриц может привести к достаточно серьезным проблемам впоследствии. Так, например, некоторые разделы экономики подразумевают различные вычисление посредством матриц. В данной статье мы попробуем разобраться, как именно можно рассчитать обратную матрицу. Итак, приступим.

Обратная матрица: определение

На самом деле существует огромное количество методов расчета обратной матрицы. И зная хотя бы один из них безо всякого труда можно решить поставленную задачу.

Однако в первую очередь следует понять, что именно представляет собой обратная матрица. Возьмем, например, матрицу А, обратной к которой будет матрица В в том случае, если при умножении В на А получится единичная матрица. Кроме того, следует помнить, что лишь квадратная матрица, обладающая отличным от нуля определителем, может обладать обратной.

Каким образом можно найти обратную матрицу

Берем первый элемент верхней строки исходной матрицы и перемещаемся слева направо.

Мысленно удаляем содержащие данное число строку и столбец матрицы.

Считаем определитель уменьшенной матрицы.

Переписываем полученные результаты в другую матрицу. При этом следует помнить, что если выбор элементов исходной матрицы осуществлялся построчно, то их следует записывать в столбцы новой матрицы.

Поменяйте знак у элементов, сумма индексов которых является нечетной. Как видим, замена осуществляется через один знак, причем, если говорить точнее, то знак элемента обратной матрицы определяется возведением числа (-1) в степень, равную сумме индексов.
Найденная матрица и будет считаться обратной к исходной.

Метод Гауса

Рассмотрим еще один достаточно простой способ нахождения обратной матрицы, а именно – метод Гауса.

Справа от исходной матрицы запишите единичную матрицу.

Произведите эквивалентные преобразования строк исходной матрицы так, чтобы она трансформировалась в единичную.
Проделайте те же преобразования и с записанной справа матрицей.

После того, как приведете исходную матрицу к единичной, рядом получите обратную.

Как видим, найти обратную матрицу достаточно просто – приложите чуть-чуть усилий, и результат превзойдет все ваши ожидания!